CLASE4

 FECHA : 04 / 11 / 2020

TEMA: NUMERO COMPLEJOS 

Historia

Podemos pensar en las progresivas ampliaciones de los conjuntos numéricos como el método para resolver ecuaciones algebraicas progresivamente complicadas. Los números complejos surgen del intento de encontrar las raíces de las funciones cúbicas.

Inicialmente, se trabajaba con expresiones que René Descartes llamaba números imaginarios. En 1777, el matemático suizo Leonhard Euler introdujo el símbolo i para representar la unidad imaginaria. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.

En este tema se explicarán algunas propiedades fundamentales de los números complejos sin las cuales es imposible trabajar muchas veces en Análisis o en Electrónica, por ejemplo. Se tratarán las distintas representaciones de los números complejos y se pretende manejar las operaciones fundamentales en dichas representaciones.

RENE DESCARTES 

(1596-1650), fue filósofo, matemático y físico francés considerado el padre de la geometría analítica y de la filosofía moderna. El adjetivo ''cartesiano'' tan manejado en matemáticas deriva de su apellido. Su método filosófico y científico, caracterizado por su simplicidad, establece una clara ruptura con la escolástica que se enseñaba entonces en las universidades. En física está considerado como el creador del mecanicismo, y en matemáticas, de la geometría analítica. Se le asocia con los ejes cartesianos en geometría, con la Iatromecánica (corriente basada en la aplicación de la física a la fisiología y patología humana) y la fisiología mecanicista en medicina, con el principio de inercia en física, con el dualismo filosófico mente/cuerpo y el dualismo metafísico materia/espíritu.

NICCOLO FONTANA 

(1500-1557), matemático italiano, más conocido por su apodo de Tartaglia. Actualmente es reconocido como uno de los matemáticos que más contribuyó al impulso dado en los comienzos del Renacimiento al desarrollo del álgebra por los matemáticos italianos, con la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado. Otras aportaciones destacables de Tartaglia fueron los cálculos de la trayectoria de los proyectiles, el cálculo del volumen de un tetraedro cualquiera en función de las longitudes de sus lados, la llamada fórmula de Tartaglia, una generalización de la fórmula de Herón y las primeras traducciones al italiano de las obras de Arquímedes y Euclides.

 Unidad Imaginaria 

Se llama así al número  y se designa por la letra . 

 

 Las raíz cúbica de  no es un numero imaginario ni complejo.

 

Módulo de un Número Complejo

El valor absoluto  o módulo de un número corresponde a la distancia en el plano complejo entre el punto y el origen del plano

Conjugado de un Número Complejo 

El conjugado de $z=a+bi$ , se define así : 

Para dividir dos números complejos necesitamos definir lo que es el conjugado de un número complejo

Ejemplo 

$3$ + 4 i ¯ = 3 - 4 i $2$ - 5 i ¯ = 2 + 5 i     $-$ 3 i ¯ = 3 i $-$ 4 ¯ = - 4

Nota: Multiplicando un número complejo con su conjugado da el módulo cuadrado.

1. $($ 3 + 4 i ) ⋅ 3 + 4 i ¯ = 3 2 + 4 2
2. $($ 3 - 5 i ) ⋅ 2 - 5 i ¯ = 3 2 + 5 2
3. $($ a + b i ) ⋅ a + b i ¯ = a 2 + b 2

Argumentó de un número complejo

Se llama módulo de un número complejo z = (a,b) a la distancia del origen de coordenadas al afijo de dicho número. Es decir, el módulo de z es , y se representa por |z|.

Se llama argumento de un número complejo al ángulo que forma el semieje real con el segmento que une el origen de coordenadas y el afijo del número. Se representa por arg(z) o simplemente por a .

Es evidente que si a es un argumento de un número complejo z, entonces también lo es a + 2kp. Es decir que un número complejo tiene infinitos argumentos.

Se llama argumento principal de un número complejo al único argumento de éste que está en el intervalo (-p,p].