MATEMATICAS3BGU: noviembre 2020

martes, 24 de noviembre de 2020

CLASE 8

FECHA : 24 / 11 / 2020

TEMA : Clase 3 -Programación Lineal

LINK DEL VIDEO DE LA EVALUACION DE : Karlita Sinchiguano

3BGU

https://www.youtube.com/watch?v=QpHv56-f8y8

CLASE · 7

17-Noviembre-2020

https://docs.google.com/document/d/1L1Ubv65h8JMP6vu3S_EdfYRlnko694-2cx5SZgnnXG8/edit

Ejemplo

Y aplicamos la fórmula:

Como el índice es 5, tenemos que sustituir k desde k=0 hasta k=4 y con eso obtendremos las 5 soluciones que tiene el radical.

Para k=0:

Para k=1:

Para k=2:

Para k=3:

Para k=4:

miércoles, 11 de noviembre de 2020

martes, 10 de noviembre de 2020

Operaciones con números complejos

Para sumar dos números complejos, sume la parte real a la parte real y la parte imaginaria a la parte imaginaria.

Para restar dos números complejos, reste la parte real de la parte real y la parte imaginaria de la parte imaginaria.

Para multiplicar dos números complejos, use el método FOIL y combine los términos semejantes.

Para dividir dos números complejos, multiplique el numerador y el denominador por el conjugado complejo, desarrolle y simplifique. Luego, escriba la respuesta final en la forma estándar.

Representación geométricamente

Suma y resta.

La suma y la resta de números complejos se realizan siguiendo las reglas de las operaciones de los números reales.

También son equivalentes a la suma y la resta con vectores, teniendo en cuenta que a cada número complejo se le hace corresponder un vector.

Número complejo: a + bi

Vector: (a,b)

En esta escena tienes representados los números complejos: z₁=a+bi y z₂=c+di . Así como su SUMA z1+z2 y su RESTA z1-z2
(Recuerda el paralelogramo que se forma con dos vectores, cuyas diagonales son la suma y la resta de los mismos, fíjate bien en la escena)

Puedes cambiar los valores de a, b, c y d, moviendo los AFIJOS de z₁ y/o z₂ con el ratón, o bien introduciendo sus valores en la parte inferior de la escena.

Como es tan fácil, mirando la escena y sus movimientos, tienes que averiguar cómo se SUMAN y se RESTAN números complejos.

Multiplicación de números complejos

La multiplicación se efectúa igual que si fuesen números reales, pero teniendo en cuenta que i²=-1

¡ATENCIÓN! la multiplicación de complejos no es equivalente al producto escalar de vectores. Pero para comprobar resultados, podemos representar los complejos que se multiplican por sus vectores, y el resultado del producto por el vector correspondiente al complejo producto.

En la escena adjunta se muestra la forma de realizar el producto de dos números complejos, z₁·z₂=(a+bi)(c+di)
Moviendo los AFIJOS de z₁ y z₂, o introduciendo los valores de a, b, c y d, puedes ir viendo los resultados.

División de números complejos.

Para dividir dos complejos, se multiplica el dividendo y el divisor por el conjugado de éste, así el divisor pasará a ser un número real.

Como en la multiplicación, representaremos los complejos por vectores, para poder comprobar los resultados en la escena.

Esta división de complejos es la que aparece en el inicio de esta escena.

Puedes cambiar los valores de a, b, c y d, o mover los puntos z₁ y z₂ para hallar otras divisiones.

Propiedades

Propiedades de la suma

Se define la suma de dos números complejos z1=a+bi y z2=c+di como

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

A partir de esta definición, usando las propiedades de los números reales, podemos probar que se cumplen las siguientes.

º Propiedad de cierre o cerradura para la suma
Para z1,z2∈C se tiene que z1+z2∈C

º Propiedad conmutativa
Para cualesquiera z1,z2∈C se cumple que

z1+z2=z2+z1

º Propiedad asociativa
Para cualesquiera z1,z2,z3∈C se cumple que

(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

Existencia del elemento neutro para la suma
0+0i, abreviado por 0, es el elemento neutro para la suma.

Existencia del inverso aditivo u opuesto
Todo número complejo z tiene un único inverso aditivo, denotado por −z.

Propiedades de la multiplicación

Se define el producto de dos números complejos z1=a+bi y z2=c+di como

(a+bi)⋅(c+di)=(ab−bd)+(ad+bc)i

A partir de esta definición, usando las propiedades de los números reales, podemos demostrar que se cumplen las siguientes. Las pruebas son similares a las de la suma.

º Propiedad de cierre o cerradura para la multiplicación
Para z1,z2∈C se tiene que z1⋅z2∈C

º Propiedad conmutativa
Para cualesquiera z1,z2∈C se cumple que

z1⋅z2=z2⋅z1

º Propiedad asociativa
Para cualesquiera z1,z2,z3∈C se cumple que

(z1⋅z2)⋅z3=z1⋅(z2⋅z3)

Existencia del elemento neutro para la multiplicación
1+0i, abreviado por 1, es el elemento neutro para la multiplicación.

Existencia del inverso multiplicativo o recíproco
Todo número complejo z, dintinto de 0, tiene un único inverso multiplicativo , denotado por z−1.

miércoles, 4 de noviembre de 2020

CLASE4

FECHA : 04 / 11 / 2020

TEMA: NUMERO COMPLEJOS

Historia

Podemos pensar en las progresivas ampliaciones de los conjuntos numéricos como el método para resolver ecuaciones algebraicas progresivamente complicadas. Los números complejos surgen del intento de encontrar las raíces de las funciones cúbicas.

Inicialmente, se trabajaba con expresiones que René Descartes llamaba números imaginarios. En 1777, el matemático suizo Leonhard Euler introdujo el símbolo i para representar la unidad imaginaria. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.

En este tema se explicarán algunas propiedades fundamentales de los números complejos sin las cuales es imposible trabajar muchas veces en Análisis o en Electrónica, por ejemplo. Se tratarán las distintas representaciones de los números complejos y se pretende manejar las operaciones fundamentales en dichas representaciones.

RENE DESCARTES

(1596-1650), fue filósofo, matemático y físico francés considerado el padre de la geometría analítica y de la filosofía moderna. El adjetivo ''cartesiano'' tan manejado en matemáticas deriva de su apellido. Su método filosófico y científico, caracterizado por su simplicidad, establece una clara ruptura con la escolástica que se enseñaba entonces en las universidades. En física está considerado como el creador del mecanicismo, y en matemáticas, de la geometría analítica. Se le asocia con los ejes cartesianos en geometría, con la Iatromecánica (corriente basada en la aplicación de la física a la fisiología y patología humana) y la fisiología mecanicista en medicina, con el principio de inercia en física, con el dualismo filosófico mente/cuerpo y el dualismo metafísico materia/espíritu.

NICCOLO FONTANA

(1500-1557), matemático italiano, más conocido por su apodo de Tartaglia. Actualmente es reconocido como uno de los matemáticos que más contribuyó al impulso dado en los comienzos del Renacimiento al desarrollo del álgebra por los matemáticos italianos, con la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado. Otras aportaciones destacables de Tartaglia fueron los cálculos de la trayectoria de los proyectiles, el cálculo del volumen de un tetraedro cualquiera en función de las longitudes de sus lados, la llamada fórmula de Tartaglia, una generalización de la fórmula de Herón y las primeras traducciones al italiano de las obras de Arquímedes y Euclides.

Unidad Imaginaria

Se llama así al número $\sqrt{-1}$ y se designa por la letra $i$ .

$\sqrt{-1}=i$

Las raíz cúbica de $-1$ no es un numero imaginario ni complejo.

$\sqrt[3]{-1}=-1\Rightarrow (-1)^{3}=(-1)(-1)(-1)=-1$

Módulo de un Número Complejo

El valor absoluto o módulo de un número corresponde a la distancia en el plano complejo entre el punto y el origen del plano

Conjugado de un Número Complejo

El conjugado de

z = a + b i

, se define así :

Para dividir dos números complejos necesitamos definir lo que es el conjugado de un número complejo

Ejemplo

$3$ + 4 i ¯ = 3 - 4 i	$2$ - 5 i ¯ = 2 + 5 i

$-$ 3 i ¯ = 3 i	$-$ 4 ¯ = - 4

Nota: Multiplicando un número complejo con su conjugado da el módulo cuadrado.

$($ 3 + 4 i ) ⋅ 3 + 4 i ¯ = 3 2 + 4 2
$($ 3 - 5 i ) ⋅ 2 - 5 i ¯ = 3 2 + 5 2
$($ a + b i ) ⋅ a + b i ¯ = a 2 + b 2

Argumentó de un número complejo

Se llama módulo de un número complejo z = (a,b) a la distancia del origen de coordenadas al afijo de dicho número. Es decir, el módulo de z es , y se representa por |z|.

Se llama argumento de un número complejo al ángulo que forma el semieje real con el segmento que une el origen de coordenadas y el afijo del número. Se representa por arg(z) o simplemente por a .

Es evidente que si a es un argumento de un número complejo z, entonces también lo es a + 2kp. Es decir que un número complejo tiene infinitos argumentos.

Se llama argumento principal de un número complejo al único argumento de éste que está en el intervalo (-p,p].

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