FECHA :10-11-2020
TEMA :
Operaciones con números complejos
Para sumar dos números complejos, sume la parte real a la parte real y la parte imaginaria a la parte imaginaria.
Para restar dos números complejos, reste la parte real de la parte real y la parte imaginaria de la parte imaginaria.
Para multiplicar dos números
complejos, use el método FOIL y combine los términos semejantes.
Para dividir dos números complejos, multiplique el numerador y el denominador por el conjugado complejo, desarrolle y simplifique. Luego, escriba la respuesta final en la forma estándar.
Representación geométricamente
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Suma y resta. |
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La suma y la resta de números complejos
se realizan siguiendo las reglas de las operaciones de los números
reales. También son equivalentes a la suma y la
resta con vectores, teniendo en cuenta que a cada número complejo se le hace
corresponder un vector.
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En esta escena tienes representados los
números complejos: z1=a+bi y z2=c+di . Así como su SUMA z1+z2 y
su RESTA z1-z2 |
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Puedes cambiar los valores de a, b, c y d,
moviendo los AFIJOS de z1 y/o z2 con el ratón, o bien introduciendo sus valores
en la parte inferior de la escena. |
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Como es tan fácil, mirando la escena y
sus movimientos, tienes que averiguar cómo se SUMAN y
se RESTAN números complejos. |
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Multiplicación de números complejos |
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La multiplicación se efectúa igual que
si fuesen números reales, pero teniendo en cuenta que i2=-1 ¡ATENCIÓN! la multiplicación de
complejos no es equivalente al producto escalar de vectores. Pero para
comprobar resultados, podemos representar los complejos que se multiplican
por sus vectores, y el resultado del producto por el vector correspondiente
al complejo producto. |
En la escena adjunta se muestra la
forma de realizar el producto de dos números complejos, z1·z2=(a+bi)(c+di)
Moviendo los AFIJOS de z1 y z2, o introduciendo los valores
de a, b, c y d, puedes ir viendo los resultados.
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División de números complejos. |
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Para dividir dos complejos, se
multiplica el dividendo y el divisor por el conjugado de éste, así el divisor
pasará a ser un número real. |
Esta división de complejos
es la que aparece en el inicio de esta escena.
Puedes
cambiar los valores de a, b, c y d,
o mover los puntos z1 y z2 para
hallar otras divisiones.
Propiedades
Propiedades de la suma
Se define la suma de dos números complejos z1=a+bi y z2=c+di como
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
A partir de esta definición, usando las propiedades de los números reales,
podemos probar que se cumplen las siguientes.
º Propiedad de cierre o cerradura para la suma
Para z1,z2∈C se tiene
que z1+z2∈C
º Propiedad conmutativa
Para cualesquiera z1,z2∈C se cumple que
z1+z2=z2+z1
º Propiedad asociativa
Para cualesquiera z1,z2,z3∈C se cumple que
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
Existencia del elemento neutro para la suma
0+0i, abreviado
por 0, es el elemento neutro para la suma.
Existencia del inverso aditivo u opuesto
Todo número complejo z tiene un
único inverso aditivo, denotado por −z.
(a+bi)⋅(c+di)=(ab−bd)+(ad+bc)i
A partir de esta definición, usando las propiedades de los números reales,
podemos demostrar que se cumplen las siguientes. Las pruebas son similares a
las de la suma.
º Propiedad de cierre o cerradura para la multiplicación
Para z1,z2∈C se tiene que z1⋅z2∈C
º Propiedad conmutativa
Para cualesquiera z1,z2∈C se cumple que
z1⋅z2=z2⋅z1
º Propiedad asociativa
Para cualesquiera z1,z2,z3∈C se cumple que
(z1⋅z2)⋅z3=z1⋅(z2⋅z3)
Existencia del elemento neutro para la multiplicación
1+0i, abreviado
por 1, es el elemento neutro para la
multiplicación.
Existencia del inverso multiplicativo o recíproco
Todo número complejo z, dintinto de 0, tiene un único inverso multiplicativo , denotado por z−1.
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